Question

7．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在线段AB上，CD⊥AB于G，连接DE交⊙O于F，连接CF交AB延长线于P．
求证：OF²=OE•OP．

Answer 1

分析 延长FO并交⊙O于Q，连接DQ，根据已知条件得出∠QFD+∠Q=90°和∠P+∠C=90°，再根据圆周角定理得出∠Q=∠C，求出∠QFD=∠P，从而得出△FOE∽△POF，即可得出OF²=OE•OP．

解答 解：延长FO并交⊙O于Q，连接DQ，
∵FQ是⊙O直径，
∴∠FDQ=90°，
∴∠QFD+∠Q=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠C=90°，
∵∠Q=∠C，
∴∠QFD=∠P．
∵∠FOE=∠POF，
∴△FOE∽△POF，
∴$\frac{OE}{OF}$=$\frac{OF}{OP}$，
∴OF²=OE•OP．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点是圆周角定理相似三角形的判定与性质，关键是根据题意求出∠QFD=∠P．