Question

17．在数学课的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用图形的面积来解释这些代数恒等式，如图（1）可以解释恒等式（2b）²=4b²

（1）如图②可以解释恒等式a²+2ab+b²=（a+b）²．
（2）如图③是由4个长为a，宽为b的长方形纸片围成的正方形，
①用面积关系写出一个代数恒等式：（a+b）²-（a-b）²=4ab．
②若长方形纸片的面积为3，且长比宽长3，求长方形的周长（其中a，b都是正数，结果可保留根号）．

Answer 1

分析 （1）根据面积的和差，可得答案；
（2）①根据面积的和差，可得答案；
②根据长方形的面积公式，可得方程，根据解方程，可得长方形的长、宽，根据长方形的周长公式，可得答案．

解答 解：（1）如图②可以解释恒等式a²+2ab+b²=（a+b）²；
（2）①用面积关系写出一个代数恒等式（a+b）²-（a-b）²=4ab；
故答案为：（a+b）²，（a+b）²-（a-b）²=4ab；
②设长方形的宽为x，长为（x+3），由题意，得
x（x+3）=3．
解得 x=$\frac{-3+\sqrt{21}}{2}$，长$\frac{\sqrt{21}+3}{2}$，
长方形的周长（$\frac{\sqrt{21}+3}{2}$+$\frac{\sqrt{21}-3}{2}$）×2=2$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了完全平方公式，利用面积的和差得出完全平方公式是解题关键．