Question

8．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．
（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；
（2）连结FG，如果α=45°，AB=4$\sqrt{2}$，AF=3，求FC和FG的长．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，AMF∽△BGM；
（2）根据相似三角形的性质，推出BG的长度，依据锐角三角函数推出AC的长度，即可求出CG、CF的长度，继而推出FG的长度．

解答 解：（1）△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，
∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D
又∠B=∠A=∠DME=α
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM，
（2）连接FG，
由（1）知，△AMF∽△BGM，
$\frac{BG}{AM}=\frac{BM}{AF}$，BG=$\frac{8}{3}$，∠α=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵M是线段AB中点，
∴AB=4$\sqrt{2}$，AM=BM=2$\sqrt{2}$，
AC=BC=4，CF=AC-AF=1，
CG=4-$\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$，
∴由勾股定理得FG=$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG、AC的长度．