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【题目】如图①,在正方形ABCD中,E是线段AB上一动点,点F在AD的延长线上运动,且DF=BE.

(1)求证:CE=CF.
(2)当点E在AB上运动时,在AD上取一点G,使∠GCE=45°,试判断BE、EG、GD三条线段的数量关系,并加以证明.
(3)若连接图①中的BD,分别交CE、CG于点M、N,得图②,试根据(2)中的结论说明以线段BM、MN、DN为三边构成的是一个什么形状的三角形?

【答案】
(1)

解:在正方形ABCD中,

∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,

∴△CBE≌△CDF,

∴CE=CF


(2)

解:EG=BE+GD

理由:由(1)知△CBE≌△CDF,

∴∠BCE=∠DCF,

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD

即∠ECF=∠BCD=90°,

又∠GCE=45°,

∴∠GCF=∠GCE=45°,

∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,

∴△ECG≌△FCG,

∴GE=GF

∴GE=GF=DF+GD=BE+GD


(3)

解:如图,

在GE上取一点H,使GH=GD,

∵△GCE≌△GCF,

∴∠DGN=∠HGN,∠F=∠GEC,

∵GN=GN,

∴△DGN≌△HGN,

∴DN=HN,

∴∠GDN=∠GHN=45°,

∵GE=GF,GD=GH,BE=DF,

∴DF=BE=EH,

∵∠F=∠GEC=∠BEC,∠EM=EM,

∴△BEM≌△HEM,

∴BM=HM,∠EBM=∠EHM=45°,

∴∠NHM=90°

∴线段BM、MN、DN为三边构成的是一个直角三角形


【解析】(1)由条件直接证明三角形全等就可以得出CE=CF.(2)由条件和(1)的结论可以证明三角形ECG全等三角形FCG,可以得出EG=FG,可以得出GE=BE+GD.(3)先判断出△DGN≌△HGN得到结论,再判断出△BEM≌△HEM,最后简单计算即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识,掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等,以及对正方形的性质的理解,了解正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

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