Question

3．如图，在△ABC中，∠DBC=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠A，BD、CE交于点P，探究BE与CD的数量关系．

Answer 1

分析 延长PE到F使PF=PD，构造△PFB≌△PCD，得到BF=CD，∠PFB=∠PDC，再根据三角形外角的性质得到∠AEC=∠BDC，继而得到FB=EB，问题得以证明．

解答 解：BE=CD．
理由：延长PE到F使PF=PD．

∵∠DBC=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠A，
∴BP=PC．
在△PFB和△PDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{FP=PD}\\{∠FPB=∠DPC}\\{PB=PC}\end{array}\right.$
∴△PFB≌△PDC．
∴BF=DC，∠BFE=∠CDP．
∵∠DBC=∠ECB=$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠FPB=∠DBC+∠ECB=∠A．
∴∠FEB=∠A+∠EBP．
∵∠BDC=∠A+∠EBP．
∴∠FEB=∠BDC．
∴∠BFE=∠BEF．
∴BF=BE．
∴BE=DC．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、三角形的外角的性质，利用三角形的外角的性质证得∠FEB=∠BDC是解题的关键．