Question

11．已知，如图所示，在△ABC中，正方形DEFG的顶点D，E在边BC上，另两个顶点G，F分别在边AB，AC上，且S_△AGF=S_△CEF=1，S_△BDG=3，求S_{正方形DEFG}．

Answer 1

分析 作AN⊥BC于N，交GF于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则GF=GD=MN=x，根据三角形面积公式可计算出AM=$\frac{2}{x}$，则AN=x+$\frac{2}{x}$，再利用GF∥BC得到△AGF∽△ABC，根据相似三角形的性质得$\frac{{S}_{△AGF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AM}{AN}$）²，即$\frac{1}{1+1+3+{x}^{2}}$=（$\frac{\frac{2}{x}}{x+\frac{2}{x}}$）²，然后求出x²即可．

解答 解：作AN⊥BC于N，交GF于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则GF=GD=MN=x，
∵_△AGF=1，
∴$\frac{1}{2}$GF•AM=1，
∴AM=$\frac{2}{x}$，
∴AN=x+$\frac{2}{x}$，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AGF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AM}{AN}$）²，即$\frac{1}{1+1+3+{x}^{2}}$=（$\frac{\frac{2}{x}}{x+\frac{2}{x}}$）²，
∴x⁴=12，
∴x²=2$\sqrt{3}$，
∴S_{正方形DEFG}=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，只有运用对应角相等，对应边的比相等．也考查了正方形的性质．