Question

3．如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线BC与x轴的交手点D．
（1）试求出点D的坐标；
（2）设直线AD交x轴于点H，y轴上有一动点P，点P从H点出发向B点运动，设线段PH长为t，过P点作MN∥x轴，交直线BC于M，交直线AD于N，若线段MN的长为y，试用含有t的代数式表示y；
（3）当y=$\frac{14}{3}$时，在y轴上是否存在一点F，使得以点A、P、F为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，请求出此时F点的坐标；若不存在请说明理由．
（4）在坐标轴上是否存在点X，使直线XA与坐标轴夹角所得的正切值是2？若存在，请直接写出X的坐标．若不存在，请将题目条件中的2改为$\frac{1}{2}$，并直接写出X的坐标．

Answer 1

分析 （1）已知A点坐标，根据AB的长以及线段AB的旋转条件确定点C的坐标，利用待定系数法即可确定直线BC的解析式，进一步能求出点D的坐标；
（2）点P、M、N三点都在平行于x轴的直线上，所以这三点的纵坐标相同．根据一次函数图象上点的坐标特征来求y与t的关系式；
（3）需要分类讨论：∠PAF=135°和∠PFA=135°两种情况来求点F的坐标；
（4）存在，如图4，过D点A作AC⊥x轴于C，由A（2，3），于是得到AC=3，AB=2，根据直线XA与坐标轴夹角所得的正切值是2即可得到X₁（3.5，0），X₂（0.5，0），X₃（0，2），X₄（0，4）．

解答 解：（1）如图1，根据题意知，点C的坐标为（2，1）．

设直线BC的表达式为y=mx+n．
易得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{2m+n=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=-1}\end{array}\right.$．
所以直线BC的表达式为y=-x+3．
当y=0时，0=-x+3，x=3．
所以点D的坐标为（3，0）．

（2）如图2．

∵点D在直线BC上，
∴直线BD的解析式为y=-x+3．
∵A（2，3），D（3，0），
∴直线AD的解析式为y=-3x+9．
∴点P的坐标为（0，9-t）．
∵MN∥x轴，
∴点M、N的纵坐标都为（9-t），
∴点M的横坐标为（t-6），点N的横坐标为$\frac{t}{3}$，
∴y=$\frac{t}{3}$-（t-6）=-$\frac{2t}{3}$+6；

（3）如图3，

由题意可得，-$\frac{2t}{3}$+6=$\frac{14}{3}$，则t=2．
可求tan∠ADC=tan∠APB=$\frac{1}{2}$．
∴∠ACD=135°，
∴需要分两种情况：
①若∠PAF=135°时，$\frac{PA}{CD}$=$\frac{PF}{AD}$，
∴PF=10，
∴F₁（0，-3）；
②若∠PFA=135°时，同理PF=2，则F₂（0，5），

（4）存在，
如图4，过D点A作AC⊥x轴于C，

∵A（2，3），
∴AC=3，AB=2，
∴X₁（3.5，0），X₂（0.5，0），X₃（0，2），X₄（0，4）．

点评 本题考查了一次函数综合题．解题时，利用了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征等知识点．解答（3）、（4）题时要分类讨论，以防漏解．