Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y=ax2（a＞0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限．
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A，B两点的横坐标的乘积；

（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，求证：A、B两点横坐标的乘积是一个定值；

（3）在（2）的条件下，如果直线AB与x轴、y轴分别交于点P、D，且点B的横坐标为 ．那么在x轴上是否存在一点Q，使△QDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

作BE⊥x轴，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴BE=OE= AB=1，

∴A（﹣1，1），B（1，1），

∴A，B两点的横坐标的乘积为﹣1×1=﹣1，

∵抛物线y=ax2（a＞0）过A，B，

∴a=1，

∴抛物线y=x2，

（2）解：如图2，

作BN⊥x轴，作AM⊥x轴，

∴∠AOB=AMO=∠BNO=90°，

∴∠MAO=∠BON，

∴△AMO∽△ONB，

∴ ，

∴AM×BN=OM×ON，

设A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，

∴AM=y1=x12，BN=y2=x22，OM=﹣x1，ON=x2，

∴x12×x22=﹣x1×x2，

∴x1×x2=﹣1，

∴A，B两点横坐标的乘积是一个定值；

（3）解：由（2）得，A，B两点横坐标的乘积是一个定值为﹣1，

∵点B的横坐标为 ，

∴点A的横坐标为﹣2，

∵A，B在抛物线上，

∴A（﹣2，4），B（ ， ），

∴直线AB解析式为y=﹣ x+1，

∴P（ ，0），D（0，1）

设Q（n，0），

∴DP2= ，PQ2=（n﹣ ）2，DQ2=n2+1

∵△QDP为等腰三角形，

∴①DP=PQ，

∴DP2=PQ2，

∴ =（n﹣ ）2，

∴n= ，

∴Q1（ ，0），Q2（ ，0）

②DP=DQ，

∴DP2=DQ2，

∴ =n2+1，

∴n= （舍）或n=﹣ ，

Q3（﹣ ，0）

③PQ=DQ，

∴PQ2=DQ2，

∴（n﹣ ）2=n2+1

∴n=﹣ ，

∴Q4（﹣ ，0），

∴存在点Q坐标为Q1（ ，0），Q2（ ，0），Q3（﹣ ，0），Q4（﹣ ，0），

【解析】（1）利用抛物线性质及待定系数法可求出解析式及横坐标乘积；（2）通过“作BN⊥x轴，作AM⊥x轴”构造相似三角形，即△AMO∽△ONB，对应边成比例，转化为乘积式，A，B两点横坐标的乘积是一个定值；（3）利用（2）的结论求出A、B坐标，若△QDP为等腰三角形，须分类讨论，即①DP=PQ②DP=DQ③PQ=DQ，分别求出Q坐标.