Question

【题目】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：BD＝CD；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果矩形AFBD是正方形，确定△ABC的形状并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形，见解析；（3）当矩形AFBD是正方形，△ABC是等腰直角三角形，见解析

【解析】

（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝CD，再利用等量代换即可得证；

（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB＝90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB＝AC．

（3）根据正方形的性质和等腰直角三角形的判定定理即可得到结论．

（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DCE，

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF＝CD，

∴AF＝BD，

∴DB＝CD；

（2）当△ABC满足：AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．

理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∵AB＝AC，BD＝CD（三线合一），

∴∠ADB＝90°，

∴AFBD是矩形．

（3）当矩形AFBD是正方形，△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°；

∵矩形AFBD是正方形，

∴AD＝BD，

∵∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴AD＝BD＝CD＝BC，

∴∠BAC＝90°，

即△ABC是等腰直角三角形．