Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（3，0），线段AB平移后对应的线段为CD，点C在x轴的负半轴上，B、C两点之间的距离为8．

（1）求点D的坐标；

（2）如图（1），求△ACD的面积；

（3）如图（2），∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，探求∠AMC的度数并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣2，﹣4）；（2）16；（3）∠M＝45°，理由见解析

【解析】

（1）根据平移规律可得点D的坐标；

（2）利用面积差可得结论；

（3）先根据直角三角形的两锐角互余得：∠OAB+∠ABO=90°，由角平分线定义得：∠MCB+∠OAM= (∠DCB+∠OAB)=45°，最后根据三角形的内角和可得结论．

解：（1）∵ B（3，0），

∴ OB＝3，

∵ BC＝8，

∴ OC＝5，

∴ C（﹣5，0），

∵ AB∥CD，AB＝CD，

∴ D（﹣2，﹣4）；

（2）如图（1），连接OD，

∴S△ACD＝S△ACO+S△DCO﹣S△AOD＝﹣＝16；

（3）∠M＝45°，理由是：

如图（2），连接AC，

∵AB∥CD，

∴∠DCB＝∠ABO，

∵∠AOB＝90°，

∴∠OAB+∠ABO＝90°，

∴∠OAB+∠DCB＝90°，

∵∠OAB与∠OCD的角平分线相交于点M，

∴∠MCB＝，∠OAM＝，

∴∠MCB+∠OAM＝＝45°，

△ACO中，∠AOC＝∠ACO+∠OAC＝90°，

△ACM中，∠M+∠ACM+∠CAM＝180°，

∴∠M+∠MCB+∠ACO+∠OAC+∠OAM＝180°，

∴∠M＝180°﹣90°﹣45°＝45°．