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【题目】如图,点A在x轴的正半轴上,以OA为直径作⊙P,C是⊙P上一点,过点C的直线y= x+ 与x轴,y轴分别相交于点D,点E,连接AC并延长与y轴相交于点B,点B的坐标为(0, ).

(1)求证:OE=CE;
(2)请判断直线CD与⊙P位置关系,证明你的结论,并求出⊙P半径的值.

【答案】
(1)证明:如图所示,连接OC,

∵直线y= x+ 与y轴相交于点E,

∴点E的坐标为(0, ),即OE= .

又∵点B的坐标为(0, ),

∴OB=

∴BE=OE=

又∵OA是⊙P的直径,

∴∠ACO=90°,即OC⊥AB,

∴OE=CE.


(2)直线CD是⊙P的切线.

证明:连接PC,PE,由(1)可知OE=CE.

在△POE和△PCE中,

∴△POE≌△PCE,

∴∠POE=∠PCE.

又∵x轴⊥y轴,

∴∠POE=∠PCE=90°,

∴PC⊥CE,即PC⊥CD.

又∵直线CD经过半径PC的外端点C,

∴直线CD是⊙P的切线.

∵对y= x+ ,当y=0时,x=-6,即OD=6,

在Rt△DOE中,DE=

∴CD=DE+EC=DE+OE= .

设⊙P的半径为r,

则在Rt△PCD中,由勾股定理知PC2+CD2=PD2

即r2+(6 )2=(6+r)2

解得r=6,即⊙P半径的值为6.


【解析】(1)连接OC,利用已知条件计算出CE和OB的长度,再证明△BCO为直角三角形,利用:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明OE=CE。
(2)①要证直线CD是⊙P的切线,需证明PC⊥CD,先证明△POE≌△PCE,得出∠POE=∠PCE,再根据∠POE是直角,证明PC⊥CD即可得出结论;
②设⊙P的半径为r,则在Rt△PCD中,由勾股定理得到关于r的方程,求出r即可。

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500

600

700

800

900

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63

120

186

252

310

360

434

488

549

610

针尖不着地的频率

0.63

0.60

0.63

0.60

0.62

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x单位:台)

10

20

30

y(单位:万元/台)

60

55

50

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2)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元/台)之间满足如图所示的函数关系.

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