【题目】如图,点A在x轴的正半轴上,以OA为直径作⊙P,C是⊙P上一点,过点C的直线y= x+ 与x轴,y轴分别相交于点D,点E,连接AC并延长与y轴相交于点B,点B的坐标为(0, ).
(1)求证:OE=CE;
(2)请判断直线CD与⊙P位置关系,证明你的结论,并求出⊙P半径的值.
【答案】
(1)证明:如图所示,连接OC,
∵直线y= x+ 与y轴相交于点E,
∴点E的坐标为(0, ),即OE= .
又∵点B的坐标为(0, ),
∴OB= ,
∴BE=OE= ,
又∵OA是⊙P的直径,
∴∠ACO=90°,即OC⊥AB,
∴OE=CE.
(2)直线CD是⊙P的切线.
证明:连接PC,PE,由(1)可知OE=CE.
在△POE和△PCE中,
∴△POE≌△PCE,
∴∠POE=∠PCE.
又∵x轴⊥y轴,
∴∠POE=∠PCE=90°,
∴PC⊥CE,即PC⊥CD.
又∵直线CD经过半径PC的外端点C,
∴直线CD是⊙P的切线.
∵对y= x+ ,当y=0时,x=-6,即OD=6,
在Rt△DOE中,DE= = = ,
∴CD=DE+EC=DE+OE= + = .
设⊙P的半径为r,
则在Rt△PCD中,由勾股定理知PC2+CD2=PD2,
即r2+(6 )2=(6+r)2,
解得r=6,即⊙P半径的值为6.
【解析】(1)连接OC,利用已知条件计算出CE和OB的长度,再证明△BCO为直角三角形,利用:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明OE=CE。
(2)①要证直线CD是⊙P的切线,需证明PC⊥CD,先证明△POE≌△PCE,得出∠POE=∠PCE,再根据∠POE是直角,证明PC⊥CD即可得出结论;
②设⊙P的半径为r,则在Rt△PCD中,由勾股定理得到关于r的方程,求出r即可。
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【题目】请仔细阅读下面材料,然后解决问题:
在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”.例如: , ;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”,例如: , .我们知道,假分数可以化为带分数,例如: ,类似的,假分式也可以化为“带分式”(整式与真分式和的形式),例如: .
(1)将分式化为带分式;
(2)当x取哪些整数值时,分式的值也是整数?
(3)当x的值变化时,分式的最大值为 .
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【题目】在硬地上抛掷一枚图钉,通常会出现两种情况:
下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据:
抛掷次数n | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 |
针尖不着地的频数m | 63 | 120 | 186 | 252 | 310 | 360 | 434 | 488 | 549 | 610 |
针尖不着地的频率 | 0.63 | 0.60 | 0.63 | 0.60 | 0.62 | 0.61 |
(1)填写表中的空格;
(2)画出该实验中,抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图;
(3)根据“抛掷图钉实验”的结果,估计“钉尖着地”的概率为 .
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【题目】某工厂新开发生产一种机器,每台机器成本y(万元)与生产数量x(台)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤70,且为整数),函数y与自变量x的部分对应值如表
x单位:台) | 10 | 20 | 30 |
y(单位:万元/台) | 60 | 55 | 50 |
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元/台)之间满足如图所示的函数关系.
①该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出,请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润.(注:利润=售价﹣成本)
②若该厂每月生产的这种机器当月全部售出,则每个月生产多少台这种机器才能使每台机器的利润最大?
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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,则下列结论错误的是( )
A. AF=AEB. △ABE≌△AGFC. AF=EFD. BE=3
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【题目】在某市开展的“体育、艺术2+1”活动中,某校根据实际情况,决定主要开设A:乒乓球,B:篮球,C:跑步,D:跳绳这四种运动项目.为了解学生喜欢哪一种项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图.请你结合图中的信息解答下列问题:
(1)求出所抽取的学生人数,并把条形统计图补充完整;
(2)样本中喜欢B项目的人数百分比是 ,其所在扇形统计图中的圆心角的度数是 ;
(3)已知该校有1 000人,根据样本估计全校喜欢跳绳的人数是多少?
图甲 图乙
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【题目】关于反比例函数y= ,下列说法中正确的是( )
A.它的图象分布在第二、四象限
B.它的图象过点(﹣6,﹣2)
C.当x<0时,y的值随x的增大而减小
D.与y轴的交点是(0,3)
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