Question

【题目】四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是什么，并证明你的结论．

（2）当四边形ABCD的对角线满足什么条件时，四边形EFGH是矩形；并利用你给的条件加以证明．

Answer 1

【答案】（1）平行四边形；（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形.

【解析】

（1）连接AC和BD，根据中位线知识得EH∥FG，EF∥HG，从而证明四边形EFGH为平行四边形；

（2）当AC⊥BD时，可证EH⊥HG，从而证明四边形EFGH为矩形.

解：（1）连接AC，BD，

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，

∴EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，

∴EH∥FG，，EF∥HG，

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形，理由如下：

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，

∴EH∥BD，FG∥BD，HG∥AC，EF∥AC，

∴EH∥FG，，EF∥HG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

∴平行四边形EFGH是矩形.