Question

18．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a²±2ab+b²=（a±b）²，那么$\sqrt{{a^2}±2ab+{b^2}}=|a±b|$，那么如何将双重二次根式$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$$（a＞0，b＞0，a±2\sqrt{b}＞0）$
化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得${（\sqrt{m}）^2}+{（\sqrt{n}）^2}=a$即m+n=a，且使$\sqrt{m}•\sqrt{n}=\sqrt{b}$即m•n=b，那么$a±2\sqrt{b}={（\sqrt{m}）^2}+{（\sqrt{n}）^2}±2\sqrt{m}•\sqrt{n}={（\sqrt{m}±\sqrt{n}）^2}$∴$\sqrt{a±2\sqrt{b}}=|\sqrt{m}±\sqrt{n}|$，双重二次根式得以化简；
例如化简：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$；∵3=1+2且2=1×2，∴$3+2\sqrt{2}={（\sqrt{1}）^2}+{（\sqrt{2}）^2}+2\sqrt{1}×\sqrt{2}$∴$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}$
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m•n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；  $\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；
（2）化简：①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$
（3）计算：$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 （1）直接利用已知例题进行配方化简即可；
（2）①首先提取公因式$\sqrt{3}$，再进行配方化简即可；
②首先提取公因式$\sqrt{2}$，再进行配方化简即可；
（3）利用根号下部分乘2进而配方化简即可．

解答 解：（1）$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
  $\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{（\sqrt{7}+\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；

（2）①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$（$\sqrt{2}$+1）=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$；

②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{8-2\sqrt{15}}$
=$\sqrt{2}$（$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$）
=$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$；

（3）$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$
=$\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$+$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$
=$\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$
=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$．

点评 此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键．