Question

如图，A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）在反比例函数y=

1

x

图象，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与BP差最大时，点P坐标为

 

．

Answer 1

考点：反比例函数图象上点的坐标特征,轴对称-最短路线问题

专题：

分析：先求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．

解答：解：∵把A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）代入反比例函数y=

1

x

得：y₁=2，y₂=

1

2

，
∴A（

1

2

，2），B（2，

1

2

）．
在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=ax+b（a≠0）
把A、B的坐标代入得：

2= 1 2 x+b 1 2 =2x+b

，
解得：

a=-1 b= 5 2

，
∴直线AB的解析式是y=-x+

5

2

，
当y=0时，x=

5

2

，即P（

5

2

，0）；
故答案为：（

5

2

，0）．

点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．