Question

16．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P是边DC上的动点，G是AP的中点，以P为中心，将PG绕点P顺时针旋转90°，G的对应点为G′，当B、D、G′在一条直线上时，PD=$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建直角三角形，设PD=x，利用勾股定理表示AP的长，即PG′的长，根据同角的三角函数值列比例式表示EG′=$\frac{1}{2}$x，同理得ED=$\frac{1}{4}$x，在直角△EPG′中，利用勾股定理列方程：（$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+{8}^{2}}$）²=（$\frac{1}{2}$x）²+（$\frac{5}{4}$x）²，求出x的值即可．

解答 解：当B、D、G′在一条直线上时，如图所示，
过G′作G′E⊥CD，交CD的延长线于E，
设PD=x，
由勾股定理得：AP=$\sqrt{{8}^{2}+{x}^{2}}$，
由旋转得：PG′=PG，∠APG′=90°，
∴∠APD+∠DPG′=90°，
∵G是AP的中点，
∴PG=$\frac{1}{2}$AP，
∴PG′=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+{8}^{2}}$，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAP+∠APD=90°，
∴∠DPG′=∠DAP，
∵sin∠DPG′=$\frac{EG′}{PG′}$，sin∠DAP=$\frac{DP}{AP}$，
∴$\frac{EG′}{PG′}$=$\frac{DP}{AP}$，
∴EG′=$\frac{1}{2}$DP=$\frac{1}{2}$x，
∵EG′∥BC，
∴$\frac{EG′}{BC}$=$\frac{ED}{DC}$，
∵BC=8，DC=4，
∴BC=2DC，
∴ED=$\frac{1}{2}$EG′=$\frac{1}{4}$x，
∴PE=PD+DE=$\frac{5x}{4}$，
由勾股定理得：G′P²=G′E²+PE²，
即（$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+{8}^{2}}$）²=（$\frac{1}{2}$x）²+（$\frac{5}{4}$x）²，
解得：x=±$\frac{16}{5}$，
∵x＞0，
∴x=$\frac{16}{5}$，
∴DP=$\frac{16}{5}$．
故答案为：DP=$\frac{16}{5}$．

点评 本题是旋转变换问题，考查了旋转和矩形的性质，明确旋转前后的两个图形全等，作恰当的辅助线，构建直角三角形，根据勾股定理列方程求解；本题是开放性试题，结论不唯一，可以求PD的长，也可以求PC的长．