Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x₁、x₂是原方程的两根，且|x₁-x₂|=2

2

，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）先求出△的值，再通过配方得出△＞0，即可得出结论；
（2）根据x₁、x₂是原方程的两根，得出x₁+x₂=-m-3，x₁x₂=m+1，再根据|x₁-x₂|=2

2

，得出（x₁-x₂）²=8，再根据（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，代入计算即可．

解答：解：（1）∵△=（m+3）²-4（m+1）=m²+2m+5=（m+1）²+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁、x₂是原方程的两根，
∴x₁+x₂=-m-3，x₁x₂=m+1，
∵|x₁-x₂|=2

2

，
∴（x₁-x₂）²=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，
∴（-m-3）²-4（m+1）=8，
∴m₁=1，m₂=-3．

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根．