Question

8．如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以$\sqrt{3}$cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．
（1）求AC的长；
（2）在P，Q点运动过程中，∠APQ的度数变化吗？如果不变，求出大小；如果变化，说明理由；
（3）以P为圆心，PQ长为半径作圆，问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC只有1个公共点？

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于点E，由菱形的性质可知△AEB为直角三角形且∠EAB=30°，依据特殊锐角三角函数值可求得AE的长，从而得到AC的长；
（2）依据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△APQ∽△ACB，从而得到∠APQ=∠ACB=30°；
（3）①当圆P与BC相切时，⊙P与边BC只有1个公共点，②当圆P与BC相交时，先求得圆P经过点B和点C时的t的取值，从而可确定出t的取值范围．

解答 解：（1）连接BD交AC于点E．

∵ABCD为菱形，∠DAB=60°，
∴∠EAB=30°，∠AEB=90°，AE=CE．
∴AE=AB×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴AC=2$\sqrt{3}$．
（2）∵由题意可知AP=$\sqrt{3}$t，AQ=t，
∴$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{\sqrt{3}t}{t}$=$\sqrt{3}$．
又∵$\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{AP}{AQ}=\frac{AC}{AB}$．
又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△APQ∽△ACB．
∴∠APQ=∠ACB=$\frac{1}{2}$∠DCB=30°．
（3）如图2所示：当圆P与BC相切时．

∵∠PAQ=∠APQ=30°，
∴PQ=AQ．
又∵PQ=PE，
∴AQ=PE．
∵BC为圆P的切线，
∴∠PEC=90°．
∵在△PEC中，∠PEC=90°，∠PCE=30°，
∴PC=2PE=2AQ=2t．
∵AP+PC=2$\sqrt{3}$，AP=$\sqrt{3}$t，
∴$\sqrt{3}t$+2t=2$\sqrt{3}$．
∴t=4$\sqrt{3}$-6．
∴当t=4$\sqrt{3}$-6时，圆P与BC只有一个交点．
如图3所示：当圆P经过点B时，连接PB．

∵PQ=PB，∠PQB=60°，
∴PQ=PB=QB．
∵AQ=PQ，
∴AQ=QB=t．
∵AQ+QB=AB，
∴2t=2．
解得；t=1．
如图4所示，当圆P经过点C时．

∵AQ=PQ，PQ=PC，
∴AQ=PC=t．
∵AP=$\sqrt{3}$t，
∴$\sqrt{3}$t+t=2$\sqrt{3}$．
解得：t=3-$\sqrt{3}$．
∴当1＜t＜3-$\sqrt{3}$时，圆P与BC只有一个交点．
综上所述，当t=4$\sqrt{3}$-6或1＜t＜3-$\sqrt{3}$时，圆P与BC只有一个交点．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、相似三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值、等边三角形的性质和判定，根据题意画出图形，求得圆P经过点B和点C时的t的取值是解题的关键．