Question

已知：点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC的中点，连接AF和DE相交于点G，GH⊥AD于点H．
（1）求证：AF⊥DE；
（2）如果AB=2，求GH的长；
（3）求证：CG=CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线,正方形的性质

专题：

分析：（1）正方形ABCD中，AB=AD，BF=AE，且∠B=∠DAE=90°，利用SAS证明△ABF≌△DAE，得到∠DGA=90°，结论成立；
（2）先证明△DGA∽△DAE，根据相似三角形对应边成比例求出DG、AG，再根据△DGA的面积不变即可求出GH的长；
（3）延长AF交DC延长线于M，证明△ABF≌△MCF，得出AB=CM，由△DGM是直角三角形，根据在直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明CG=CD．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠DAE=90°，
又∵E，F分别是边AB、BC的中点，
∴AE=

1

2

AB，BF=

1

2

BC，
∴AE=BF．
在△ABF与△DAE中，

AB=AD ∠B=∠DAE=90° BF=AE

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠ADG+∠DAG=90°，
∴∠DGA=90°，即AF⊥DE；

（2）在△DGA与△DAE中，

∠DGA=∠DAE=90° ∠ADG=∠EDA

，
∴△DGA∽△DAE，
∴

DG

DA

=

AG

AE

=

AD

DE

，即

DG

2

=

AG

1

=

2

5

，
∴DG=

4 5

5

，AG=

2 5

5

．
∵△DGA的面积=

1

2

AD•GH=

1

2

DG•AG，
∴GH=

DG•AG

AD

=

4 5 5 × 2 5 5

2

=

4

5

；

（3）延长AF交DC延长线于M，
∵F为BC中点，
∴CF=FB．
又∵DM∥AB，
∴∠M=∠FAB．
在△ABF与△MCF中，

∠FAB=∠M ∠BFA=∠CFM FB=FC

，
∴△ABF≌△MCF（AAS），
∴AB=CM．
∴AB=CD=CM，
∵△DGM是直角三角形，
∴CG=

1

2

DM=CD，即CG=CD．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，本题中求证△ABF≌△DAE、△DGA∽△DAE和△ABF≌△MCF是解题的关键．