Question

【题目】如图，已知Rt△ACE中，∠AEC=90°，CB平分∠ACE交AE于点B，AC边上一点O，⊙O经过点B、C，与AC交于点D，与CE交于点F，连结BF。

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）若，AE=8，求⊙O的半径；

（3）在(2)条件下，求BF的长。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2） （3）

【解析】

(1) 连接OB,根据OB=OC得出∠1=∠2，再根据CB平分∠ACE，得出∠2=∠3，再利用平行线的性质求解即可;(2) 连接DF,根据同弧所对圆周角相等得出∠CDF=∠CBF，再利用直径所对的圆周角为90°，得出∠DFC=90°，由OB//CE，得出△AOB∽△ACE，利用相似三角形的性质，列出方程求解即可;(3) 先证出△ACB∽△BCF，再利用相似三角形的性质得出=，进而求出结果.

（1）证明：如图1，连接OB，

∵OB=OC，∴∠1=∠2，

∵CB平分∠ACE，∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，∴OB∥CE，

∴∠ABO=∠AEC=90°，即OB丄AE，

∴AE是⊙0的切线；

（2）如图2，连接DF，

∵∠CDF和∠CBF是同弧所对圆周角，

∴∠CDF=∠CBF，

∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，

∴DF//AE，∴∠A=∠CDF，∴∠A=∠CBF，

∵cos∠CBF=，∴cosA=，

在Rt△ACE中AE=8，∴AC=10，CE=6，

由（1）可知OB//CE，∴△AOB∽△ACE，

∴，

设⊙O的半径为x，则，

解得x=，∴⊙O的半径为；

（3）在Rt△AOB中AO=10-=，cos A=，∴AB=5，

在Rt△DCF中CD=，cos∠CDF=cos∠CBF=，∴CF=，

∵∠A=∠CBF，∠2=∠3，

∴△ACB∽△BCF，

∴=，

∴，

解得，BC=，BF=.