Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1经过点A(﹣4，0)、B(﹣1，0)，其顶点为．

（1）求抛物线C1的表达式；

（2）将抛物线C1绕点B旋转180°，得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式；

（3）再将抛物线C2沿x轴向右平移得到抛物线C3，设抛物线C3与x轴分别交于点E、F(E在F左侧)，顶点为G，连接AG、DF、AD、GF，若四边形ADFG为矩形，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y；（2）；（3）E(，0)．

【解析】

（1）根据抛物线C1的顶点坐标可设顶点式将点B坐标代入求解即可；

（2）由抛物线C1绕点B旋转180°得到抛物线C2知抛物线C2的顶点坐标，可设抛物线C2的顶点式，根据旋转后抛物线C2开口朝下，且形状不变即可确定其表达式；

（3）作GK⊥x轴于G，DH⊥AB于H，由题意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF，结合矩形的性质利用两组对应角分别相等的两个三角形相似可证△AGK∽△GFK，由其对应线段成比例的性质可知AK长，结合A、B点坐标可知BK、BE、OE长，可得点E坐标.

解：（1）∵抛物线C1的顶点为，

∴可设抛物线C1的表达式为y，

将B(﹣1，0)代入抛物线解析式得：，

∴，

解得：a，

∴抛物线C1的表达式为y，即y．

（2）设抛物线C2的顶点坐标为

∵抛物线C1绕点B旋转180°，得到抛物线C2，即点与点关于点B(﹣1，0)对称

∴抛物线C2的顶点坐标为()

可设抛物线C2的表达式为y

∵抛物线C2开口朝下，且形状不变

∴抛物线C2的表达式为y，即．

（3）如图，作GK⊥x轴于G，DH⊥AB于H．

由题意GK=DH=3，AH=HB=EK=KF，

∵四边形AGFD是矩形，

∴∠AGF=∠GKF=90°，

∴∠AGK+∠KGF=90°，∠KGF+∠GFK=90°，

∴∠AGK=∠GFK．

∵∠AKG=∠FKG=90°，

∴△AGK∽△GFK，

∴，

∴，

∴AK=6，

，

∴BE=BK﹣EK=3，

∴OE，

∴E(，0)．