Question

【题目】在平面直角坐标系中，点 ， ，将直线平移与双曲线在第一象限的图象交于、两点．

（1）如图1，将绕逆时针旋转得与对应，与对应)，在图1中画出旋转后的图形并直接写出、坐标；

（2）若，

①如图2，当时，求的值；

②如图3，作轴于点，轴于点，直线与双曲线有唯一公共点时，的值为　　．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析，，；（2）①k=6；②．

【解析】

（1）根据题意，画出对应的图形，根据旋转的性质可得，，从而求出点E、F的坐标；

（2）过点作轴于，过点作轴于，过点作于，根据相似三角形的判定证出，列出比例式，设，根据反比例函数解析式可得（Ⅰ）；

①根据等角对等边可得，可列方程(Ⅱ)，然后联立方程即可求出点D的坐标，从而求出k的值；

②用m、n表示出点M、N的坐标即可求出直线MN的解析式，利于点D和点C的坐标即可求出反比例函数的解析式，联立两个解析式，令△=0即可求出m的值，从而求出k的值．

解：（1）点 ， ，

，，

如图1，

由旋转知，，，，

点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，

，；

（2）过点作轴于，过点作轴于，过点作于，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，，

，，

，

设，

，

，，

点，在双曲线上，

，

(Ⅰ)

①，

，

，

，

(Ⅱ)，

联立(Ⅰ)(Ⅱ)解得：，，

；

②如图3，

，，

，，

，

，

直线的解析式为(Ⅲ)，

双曲线(Ⅳ)，

联立(Ⅲ)(Ⅳ)得：，

即：，

△，

直线与双曲线有唯一公共点，

△，

△，

(舍或，

，

．

故答案为：．