Question

【题目】如图，一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）写出不等式ax2+bx+c≥0的解集；

（3）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；

（4）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣；（2）x≥1，x≤-3；（3）P（﹣1，﹣2），Q（﹣1，2）；（4）M（0，0）

【解析】

（1）先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点的坐标，进而即可求出二次函数的解析式；

（2）根据函数图象结合与x轴的两个交点的坐标可直接得出不等式的解集；

（3）根据二次函数的解析式可得顶点坐标及对称轴，根据A、C两点坐标可求出直线AC的解析式，然后即可求出Q点的坐标；

（4）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′Q，A′Q与x轴的交点M即为所求的点，利用待定系数法求出直线A′Q的解析式即可确定M点的坐标．

解：（1）解方程x2+2x﹣3＝0得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的坐标为B（1，0），C（﹣3，0），

设二次函数的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），

∵抛物线过点A（3，6），

∴6＝a（3+3）（3﹣1），

解得：a＝，

∴二次函数的解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+x﹣；

（2）∵抛物线开口向上，与x轴的两个交点的坐标为B（1，0），C（﹣3，0），

∴不等式ax2+bx+c≥0的解集为：x≥1或x≤－3；

（3）∵y＝x2+x﹣＝（x+1）2﹣2，

∴抛物线的顶点坐标为P（﹣1，﹣2），对称轴为x＝﹣1，

设直线AC解析式为y＝kx+b，

将A（3，6），C（﹣3，0），代入得：，

解得：，

∴直线AC解析式为y＝x+3，

将x＝﹣1代入，得y＝2，

∴Q（﹣1，2）；

（4）作点A关于x轴的对称点A′（3，﹣6），

连接A′Q，A′Q与x轴的交点M即为所求的点，

设直线A′Q的解析式为y＝kx+b，

将A′（3，﹣6），Q（﹣1，2）代入得：，

解得：，

∴直线A′Q的解析式为y＝﹣2x，

令x＝0，则y＝0，

∴M（0，0）．