Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)、B(2，0)，与y轴交于点C(0，﹣2)，顶点为P

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，若直线PM与BC交于Q，且sin∠CQP＝，求点M的坐标；

（3）将抛物线平移至顶点为坐标原点，过F(0，)的直线交抛物线于G、H，GO交直线y＝﹣于点N，求证：HN∥y轴．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）M(，)；（3）见解析

【解析】

（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），即可求解；

（2）过点C作PM的平行线交x轴于点H，过点H作HG⊥BC于点G，求出点H（，0），确定直线PQ的表达式，即可求解．

（3）直线HG的表达式为：y＝x2x，则点N的坐标为（﹣，﹣），由一元二次方程根与系数的关系得：x1x2＝﹣，则x1＝﹣，即可求解．

（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2），

故﹣2a＝﹣2，解得：a＝1，

故函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；

（2）过点C作PM的平行线交x轴于点H，过点H作HG⊥BC于点G，

则∠HCB＝∠CQP，

∵OB＝OC＝2，

∴∠OBC＝45°，

设：OH＝m，则BH＝2﹣m，HG＝BHsin∠OBC＝（2﹣m），HC＝，

sin∠HCB＝＝sin∠CQP＝，即：＝，

解得：m＝（不合题意的值已舍去），则点H（，0），

则直线CH表达式中的k值为：3，

设直线PQ的表达式为：y＝3x+n，

将点（，﹣）的坐标代入上式并解得：

直线PM的表达式为：y＝3x﹣…②，

联立①②并解得：x＝或（舍去），

故点M（，）；

（3）新函数的表达式为：y＝x2…③，

设点H、G的坐标分别为（x1，x12）、（x2，x22），

则直线HG的表达式为：y＝x2x，

则点N的坐标为（﹣，﹣）；

设直线HG的表达式为：y＝kx+…④，

联立③④并整理得：x2﹣kx﹣＝0，

则x1x2＝﹣，x1＝﹣

则点H的横坐标为：﹣，

点H、N的横坐标均为：﹣，

故HN∥y轴．