Question

【题目】我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；

（2）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且CD＝CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；

（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）；（2）见解析；（3）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．证明见解析．

【解析】

（1）邻角相等的四边形有很多，矩形、正方形或者等腰梯形都至少有一组邻角相等；

（2）解本题有两种方法：①运用中位线的性质，找出对应相等的角；②用待定系数法，设出x，写出关于x的代数式，化简即可找出对应相等的角；

（3）根据题意易知满足条件的四边形即为第二题的四边形．

（1）等腰梯形（或矩形，或正方形）

（2）证法一：取AC的中点M，连接ME、MF

∵点E为BC中点，

∴EM为△ABC的中位线，

∴EM∥AB，且EM＝AB

同理FM∥DC，且FM＝DC

∵AB＝AC，DC＝AC，

∴AB＝DC，EM＝FM，

∴∠1＝∠2

∵EM∥AB，FM∥DC，

∴∠2＝∠4，∠1＝∠3，

∴∠4＝∠3

∵∠AGE+∠4＝180°，∠GEC+∠3＝180°，

∴∠AGE＝∠GEC

∴四边形AGEC是等邻角四边形

证法二：连接AE

设∠B的度数为x

∵AB＝AC，CD＝CA，

∴∠C＝∠B＝x，∠1＝＝90°﹣

∵F是AD的中点，

∴AF＝EF＝AD，

∴∠2＝∠1＝90°﹣

∴∠AGE＝∠B+∠2＝x+90°﹣＝90°+，∠GEC＝180°﹣（90°﹣）＝90°+

∴∠AGE＝∠GEC，

∴四边形AGEC是等邻角四边形

（3）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．

理由：如图，连接AE，CF交于点O．

∵CA＝CD，AF＝DF，

∴CF⊥AD，∠ACF＝∠DCF，

∵AB＝AC，BE＝EC，

∴AE⊥BC，

∴∠AFC＝∠AEC＝90°，

∴A，F，E，C四点共圆，

∴AEF＝∠ACF＝∠OCH，

∴∠FHC＝∠HEC+∠HCE＝∠AEF+90°+∠HCE＝∠OCH+∠HCE+90°＝90°+∠OCE，

∵∠AGF＝∠B+∠BEG＝∠B+90°﹣∠AEG＝90°+∠ACB﹣∠ACO＝90°+∠OCE，

∴∠AGF＝∠GHC，

∴四边形AGHC是等邻角四边形