Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．

（1）求证：AEEB=CEED；

（2）若⊙O的半径为3，OE=2BE，=，求线段DE和PE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）DE=；PE=3．

【解析】

（1）连接AC，BD，如图，利用圆周角定理得到∠CAE=∠CDB，∠ACE=∠DBE，即可证明△ACE∽△DBE，进而得到结论；

（2）先计算出OE=2，BE=1，利用CEDE=AEBE得到CEDE═5，利用CE=DE可计算出CE和DE的长．利用切割线定理和勾股定理得到PDPC=PE2-BE2，即（PE-）（PE+3）=PE2-1，然后解关于PE的方程即可．

（1）连接AC，BD，

∵∠CAE=∠CDB，∠ACE=∠DBE，

∴△ACE∽△DBE，

∴AE：DE=CE：BE，

∴AEEB=CEED；

（2）∵OE+BE=3，OE=2BE，

∴OE=2，BE=1，

∴AE=5，

∴CEDE=5×1=5，

∵=，

∴CE=DE，

∴DEDE=5，解得：DE=，

∴CE=3．

∵PB为切线，

∴∠PBD+∠ABD=90°，

∵AB是直径，

∴∠PCB+∠ACD=90°，

∵∠ABD=∠ACD，

∴∠PBD=∠PCB，

∵∠P=∠P，

∴PBD~PCB，

∴，

∴PB2=PDPC，

而PB2=PE2-BE2，

∴PDPC=PE2-BE2，即（PE-）（PE+3）=PE2-1，

∴PE=3．