Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B，直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，m）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）直接写出关于x的不等式2x+b＞的解集；

（3）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BM，当S△ABM＝2S△OMP时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝；（2）不﹣1＜x＜0或x＞3；（3）点P的坐标为（﹣1，﹣6）或（5，）．

【解析】

（1）将点A，点C坐标代入一次函数解析式y=2x+b，可得b=-4，m=-6，将点C坐标代入反比例函数解析式，可求k的值，即可得一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求得直线与反比例函数的交点坐标，然后根据图象求得即可；
（3）由S△ABM=2S△OMP=6，可求AM的值，由点A坐标可求点M坐标，即可得点P坐标．

解：（1）将A（2，0）代入直线y＝2x+b中，得2×2+b＝0

∴b＝﹣4，

∴一次函数的解析式为y＝2x﹣4

将C（﹣1，m）代入直线y＝2x﹣4中，得2×（﹣1）﹣4＝m

∴m＝﹣6

∴C（﹣1，﹣6）

将C（﹣1，﹣6）代入y＝，得﹣6＝，

解得k＝6

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）解得或，

∴直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，﹣6）和D（3，2）．如图，

由图象可知：不等式2x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3；

（3）∵S△ABM＝2S△OMP，

∴×AM×OB＝6，

∴×AM×4＝6

∴AM＝3，且点A坐标（2，0）

∴点M坐标（﹣1，0）或（5，0）

∴点P的坐标为（﹣1，﹣6）或（5，）．