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【题目】已知抛物线是常数,且),经过点,与轴交于点.

(Ⅰ)求抛物线的解析式;

(Ⅱ)若点是射线上一点,过点轴的垂线,垂足为点,交抛物线于点,设点横坐标为,线段的长为,求出之间的函数关系式,并写出相应的自变量的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点在线段上时,设,已知是以为未知数的一元二次方程为常数)的两个实数根,点在抛物线上,连接,且平分,求出值及点的坐标.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)值为点坐标为.

【解析】

(Ⅰ)将点A和点B30)坐标代入y=a+bx+3得到ab的方程组,然后解方程求出ab,即可得到抛物线的解析式;

(Ⅱ)先根据待定系数法求出直线BC的解析式,分当点P在线段CB上时,和点P在射线BN上时,两种情况讨论,点的横坐标为,得出P点的坐标为(t-t+3),Q点的坐标为(t-t2+2t+3),就可以得出dt之间的函数关系式而得出结论;

(Ⅲ)根据根的判别式就可以求出m的值,就可以求出方程的解而求得PQPH的值,延长MPL,使LP=MP,连接LQLH,延长MPL,使LP=MP,连接LQLH,就可以得出四边形LQMH是平行四边形,进而得出四边形LQMH是菱形,由菱形的性质就可以求出结论.

解:(Ⅰ)将代入

解得

∴抛物线的解析式为

(Ⅱ)∵点的坐标为

设直线的方程为

代入,得.

解得.

∴直线的方程为.

点的横坐标为,且垂直于轴,

点的坐标为点的坐标为.

①如图,当点在线段上时,

.

②如图,当点在射线上时,

.

(Ⅲ)∵的两个实数根.

,即.

整理得:.

.

.

∴方程为.

解得.

的两个实数根,

所以.

.

.

如图,延长,使,连接

∴四边形是平行四边形.

.

.

.

.

是菱形.

.

∴点的纵坐标与点纵坐标相等,都是.

中,当时,.

.

解得.

综上所述:值为点坐标为.

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