Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得点P在射线BC上，且∠APB∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．

（1）当⊙O的半径为1时，

①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D、E、F中，⊙O的依附点是　 ；

②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①E、F；②t或t．（2）4＜m＜4或﹣4＜m＜2﹣2．

【解析】

（1）①如图1中，根据P为⊙C的依附点，可知：当r＜OP≤3r（r为⊙C的半径）时，点P为⊙C的依附点，由此即可判断．

②分两种情形：点T在第二象限或点T在第四象限分别求解即可．

（2）分两种情形：点C在点M的右侧，点C在点M的左侧分别求解即可解决问题．

解：（1）①如图1中，根据P为⊙C的依附点，可知：当r＜OP＜3r（r为⊙C的半径）时，点P为⊙C的依附点．

∵D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），

∴OD＝1，OE＝2，OF＝2.5，

∴1＜OE＜3，1＜OF＜3，

∴点E，F是⊙C的依附点，

故答案为：E、F；

②如图2中，

当点T在第四象限，OT′＝1时，作T′N⊥x轴于N，易知N（，0），OT＝3时，作TM⊥x轴于M，易知M（，0），

∴满足条件的点T的横坐标t的取值范围：t．

当点T在第二象限时，同法可得满足条件的t的取值范围为t，

综上所述，满足条件的t的值的范围为：t或t．

（2）如图3﹣1中，当点C在点M的右侧时，

由题意M（2，0），N（0，2）

当CN＝6时，OC4，此时C（4，0），

当CM＝2时，此时C（4，0），

∴满足条件的m的值的范围为4＜m＜4．

如图3﹣2中，当点C在点M的右侧时，

当⊙C与直线MN相切时，易知C′（2﹣2，0），

当CM＝6时，C（﹣4，0），

∴满足条件的m的值的范围为﹣4＜m＜2﹣2，

综上所述，满足条件的m的值的范围为：4＜m＜4或﹣4＜m＜2﹣2．