Question

【题目】阅读下列材料，并完成相应的任务．

托勒密定理：

托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．

托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．

已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，

求证：ABCD+BCAD＝ACBD

下面是该结论的证明过程：

证明：如图2，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．

∵

∴∠ABE＝∠ACD

∴△ABE∽△ACD

∴

∴ABCD＝ACBE

∵

∴∠ACB＝∠ADE（依据1）

∵∠BAE＝∠CAD

∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC

即∠BAC＝∠EAD

∴△ABC∽△AED（依据2）

∴ADBC＝ACED

∴ABCD+ADBC＝AC（BE+ED）

∴ABCD+ADBC＝ACBD

任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：　 　．

（请写出）

（3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为的中点，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似;(2) 勾股定理;(3) .

【解析】

（1）根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题．

（2）利用矩形的性质以及托勒密定理即可判断．

（3）连接BD，作CE⊥BD于E．首先证明BD＝2DE＝CD，由托勒密定理，构建方程求出AC即可．

（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．

“依据2”是两角分别相等的两个三角形相似．

（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，

则AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，

∵ABCD+ADBC＝ACBD，

∴AB2+AD2＝BD2，

托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：勾股定理，

故答案为勾股定理．

（3）连接BD，作CE⊥BD于E．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠BAD+∠BCD＝180°，

∵∠BAD＝60°，

∴∠BCD＝120°，

∵，

∴CD＝CB，

∴∠CDB＝30°，

在Rt△CDE中，cos30°＝，

∴DE＝CD，

∴BD＝2DE＝CD，

由托勒密定理：ACBD＝ADBC+CDAB，

∴ACCD＝3CD+5CD，

∴AC＝，

答：AC的长为．