Question

【题目】阅读材料：若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上（点与点不重合），我们称这样的两条抛物线、互为“友好”抛物线，如图1．

解决问题：如图2，已知物线与轴交于点．

（1）若点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标；

（2）求出以点为顶点的的“友好”抛物线的解析式；

（3）直接写出与中同时随增大而增大的自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）点D坐标为(4，4)

（2）抛物线的解析式为

（3）

【解析】

（1）根据抛物线的解析式可求得C点坐标及对称轴，即可求得点D坐标．

（2）可设的交点式解析式，将顶点坐标代入即可求解．

（3）画图像，根据图像可得与中同时随增大而增大的自变量的取值范围．

解：（1）∵点C是与轴交点

∴点C坐标为(0，4)

将化成顶点式得：

∴顶点坐标为(2，-4)，对称轴为

∵点与点关于抛物线的对称轴对称

∴点D坐标为(4，4)．

（2）设解析式为：

将(2，-4)代入解得

∴的“友好”抛物线的解析式为．

（3）画出的图像．

由图像可知当 时，与中同时随增大而增大．

故答案为：（1）点D坐标为(4，4)

（2）抛物线的解析式为

（3）