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【题目】如图,在菱形中,,点边上一动点(与点不重合),连接的两边所在射线以点为中心,顺时针旋转分别交射线于点

1)依题意补全图形;

2)若,求的大小(用含的式子表示)

3)用等式表示线段之间的数量关系,并证明.

【答案】1)详情见解析;(2)∠AFC=α+30°;(3AF+AE=CG,证明见解析

【解析】

1)按照要求,利用旋转的性质得出对应点的位置,从而得出答案即可;

2)利用旋转性质得出∠ECF=ACG=120°,由此进一步求出∠ACE=FCG=α,然后结合菱形的选择可知∠DAC=BAC=30°,据此进一步求出答案即可;

3)作CHAG于点H,首先证明△ACE与△GCF全等,由此进一步得出HG=CG×cosCGH,据此进一步求得AG=CG,进而得出答案即可.

1)补全的图形如图所示:

2)由旋转性质可得:∠ECF=ACG=120°,

∴∠ACE+ACF=ACF+FCG

∴∠ACE=FCG=α

∵四边形ABCD为菱形,∠DAB=60°,

∴∠DAC=BAC=30°,

∴∠AGC=30°,

∴∠AFC=α+30°;

3)线段之间的数量关系为:AF+AE=CG,证明如下:

如图,作CHAG于点H

由(2)可得:∠BAC=DAC=AGC=30°,

CA=CG

HG=AG

在△ACE与△GCF中,

∵∠ACE=GCFCA=CG,∠CAE=CGF

∴△ACEGCFASA),

AE=FG

RtHCG中,

HG=CG×cosCGH=CG

AG=CG

即:AF+AE=AF+FG=AG=CG

∴线段之间的数量关系为:AF+AE=CG.

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