Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线经过点、、，已知点，，且，点为抛物线上一点（异于）．

（1）求抛物线和直线的表达式．

（2）若点是直线上方抛物线上的点，过点作，与交于点，垂足为．当时，求点的坐标．

（3）若点为轴上一动点，是否存在点，使得由，，，四点组成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）点的坐标为；（3）存在，点的坐标为或或

【解析】

（1），则OA=4OC=8，故点A（-8，0）；△AOC∽△COB，则△ABC为直角三角形，则CO2=OAOB，解得：OB=2，故点B（2，0）；即可求解；
（2）PE=EF，即；即可求解；
（3）分BC是边、BC是对角线两种情况，分别求解即可．

解：（1）∵，，

∴．

由点的坐标可知，故，，则点，点．

设抛物线的表达式为,

代入点的坐标，得，解得．

故抛物线的表达式为．

设直线的表达式为,

代入点、的坐标，得，解得

故直线的表达式为．

（2）设点的坐标为，则点的坐标分别为，，．

∵，

∴，

解得或（舍去），则，

故当时，点的坐标为．

（3）设点P（m，n），n=，点M（s，0），而点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，4）；
①当BC是边时，
点B向左平移2个单位向上平移4个单位得到C，
同样点P（M）向左平移2个单位向上平移4个单位得到M（P），
即m-2=s，n+4=0或m+2=s，n-4=0，
解得：m=-6或±-3，
故点P的坐标为：（-6，4）或（-3，-4）或（--3，-4）；
②当BC是对角线时，
由中点公式得：2=m+s，n=4，
故点P（-6，4）；
综上，点P的坐标为：（-6，4）或（-3，-4）或（--3，-4）．