Question

【题目】如图1，将任意一个等腰直角三角板△ABC放至平面直角坐标系xOy中，直角顶点A（a，0）在x轴的负半轴，点B（0，b）在y轴的正半轴，点C落在第二象限，

（1）若＝﹣b2+4b﹣4，求C点坐标；

（2）如图2，再将任意的一个等腰直角三角板△DEF放至平面直角坐标系xOy中，点E在x轴的正半轴上，F在y轴的负半轴上，直角顶点D落在第四象限，设点G为BC的中点，证明：点D，O，G三点刚好在同一条直线上；

（3）已知a＝﹣4，b＜4.如图3，点O关于直线AB的对称点为点H，AH交线段BC于点P，PR⊥x轴于点R，求△APR的周长．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣6，4）；（2）证明见解析；（3）△APR的周长＝8．

【解析】

（1）如图1中，作CH⊥OA于H.利用非负数的性质求出a，b，再利用全等三角形的性质解决问题即可．

（2）利用四点共圆证明∠AOG＝45°，∠DOE＝45°，推出∠AOG＝∠DOE即可．

（3）如图3中，连接BH，作BK⊥PR于K，在AO上截取AM，使得AM＝AP.利用全等三角形的性质证明PK＝PH，RK＝RO，可以推出△APR的周长＝AH+AO＝8．

解：（1）如图1中，作CH⊥OA于H．

∵ ＝﹣b2+4b﹣4，

∴+（b﹣2）2＝0，

∵≥0，（b﹣2）2≥0，

∴2b+a＝0，b＝2，

∴a＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，2），

∴OA＝4，OB＝2，

∵∠CHA＝∠AOB＝∠CAB＝90°，

∴∠CAH+∠BAO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠CAH＝∠ABO，

∵AC＝AB，

∴△CHA≌△AOB（AAS），

∴CH＝OA＝4，AH＝OB＝2，

∴OH＝6，

∴C（﹣6，4）．

（2）如图2中，连接AG．

∵AC＝AB，CG＝GB，

∴AG⊥BC，∠ABC＝45°，

∴∠AGB＝∠AOB＝90°，

∴A，G，B，O四点共圆，

∴∠AOG＝∠ABC＝45°，

∵∠EOF＝∠EDF＝90°，

∴O，E，D，F四点共圆，

∴∠DOE＝∠DFE，

∵DE＝DF，∠EDF＝90°，

∴∠DFE＝45°，

∠DOF＝45°＝∠AOG，

∴D，O，G共线．

（3）如图3中，连接BH，作BK⊥PR于K，在AO上截取AM，使得AM＝AP．

∵AB＝AB，∠BAP＝∠BAM，AP＝AM，

∴△BAP≌△BAM（SAS），

∴BP＝BM，∠ABP＝∠ABM＝45°，

∴∠PBM＝90°，

∵∠H＝∠BOM＝90°，BP＝BM，BH＝BO，

∴Rt△BHP≌△BOM（HL），

∴∠BPH＝∠BMO，

∵∠PBM＝∠PRM＝90°，

∴∠BMO+∠AMB＝180°，∠AMB+∠RPB＝180°，

∴∠BPR＝∠BMO＝∠BPH，

∵BH⊥PH，BK⊥PR，

∴BH＝BK，∠H＝∠BKP＝90°，

∵PB＝PB，

∴Rt△BPH≌Rt△BPK（HL），

∴PK＝PH，

∵BO＝BH，

∴BK＝BO，

∵∠BKR＝∠KRO＝∠ROB＝90°，

∴四边形OBKR是矩形，

∵BO＝BK，

四边形BORK是正方形，

∴RK＝OR，

∴AO＝AH＝4，

∴△APR的周长＝AP+PK+KR+AR＝AH+AO＝8．