Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A(,0),AB⊥轴,且AB=10,点C（0，b）,,b满足.点P（t,0）是线段AO上一点（不包含A,O）

（1）当t=5时，求PB：PC的值；

（2）当PC+PB最小时，求t的值;

（3）请根据以上的启发，解决如下问题:正数m,n满足m+n=10,且正数=，则正数的最小值=________.

Answer 1

【答案】（1）的值为；（2）当最小时，t的值为15；（3）．

【解析】

（1）先根据二次根式的被开方数的非负性求出a、b的值，从而可得OA、OC的长，再利用勾股定理分别求出PB、PC的长，从而可得出答案；

（2）如图（见解析），作点B关于x轴的对称点，从而可得的长，再根据两点之间线段最短确认最小时点P的位置，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可得；

（3）先根据题（1）得出的式子，可发现与所求的的形式完全一样，因此，参照题（2）的方法，画出图形，利用几何方法求解即可（与题（2）的思路完全相同）．

，解得

将代入得，

（1）当时，则

轴

故的值为；

（2）如图1，作点B关于x轴的对称点，过点作轴于点D，连接，交x轴于点

由轴对称的性质得：

由两点之间线段最短得：当点P与点重合时，最小，最小值为

是等腰直角三角形，

是等腰直角三角形，

故当最小时，t的值为15；

（3）由（1）知，

因此，对于可参照（2）的方法，画出如图2，其中，点B与点关于x轴对称，轴，

则

由（2）可知，的最小值为

即的最小值为

故答案为：．