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    14．如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．
    （1）若图1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．
    （2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明）
    ②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．
    （3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，点E是四边形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．

    分析 （1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△EBC，所以问题得解；
    （2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．②不一定存在强相似点，如正方形；
    （3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解．

    解答 解：（1）理由：∵∠A=50°，
    ∴∠ADE+∠DEA=130°，
    ∵∠DEC=50°，
    ∴∠BEC+∠DEA=130°，
    ∴∠ADE=∠BEC，
    ∵∠A=∠B，
    ∴△ADE∽△BEC，
    ∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；
    （2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求，
    如图2所示：连接FC，DF，
    ∵CD为直径，∴∠DFC=90°，
    ∵CD∥AB，
    ∴∠DCF=∠CFB，
    ∵∠B=90°，
    ∴△DFC∽△CBF，
    同理可得出：△DFC∽△FAD，
    ②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．
    （3）第一种情况：∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
    即△ADE∽△BEC∽△EDC，
    ∵点E是梯形ABCD的边AB上的强相似点，
    ∴△ADE，△BEC以及△CDE是两两相似的，
    ∵△ADE是直角三角形，
    ∴△DEC也是直角三角形，
    当∠DEC=90°时，
    ①∠CDE=∠DEA，
    ∴DC∥AE，
    这与四边形ABCD是梯形相矛盾，不成立；
    ②∠CDE=∠EDA，
    ∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°，
    ∴∠AED=∠ECD，
    ∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
    ∴∠AED=∠BCE，
    ∴∠AED=∠BCE=∠ECD，
    ∴DE平分∠ADC，同理可得，CE平分∠DCB，
    如图3，过E作EF⊥DC，
    ∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
    ∴AE=FE，BE=FE，
    ∴AE=BE，
    第二种情况：∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
    即△ADE∽△BEC∽△DCE．
    所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，
    说明AE=$\frac{1}{2}$DE，BE=$\frac{1}{2}$CE，DE=$\frac{1}{2}$CE，
    所以AE=$\frac{1}{2}$BE．
    综上，AE=BE或AE=$\frac{1}{2}$BE．

    点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念，掌握强相似点的概念、正确运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的正确运用．

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    当点E与点A重合时，折痕EF的长为2$\sqrt{2}$；
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    提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助！

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