Question

3．（1）如图1，OC平分∠AOB，点D是射线OA边上一点，点P、Q分别在射线OC、OB上运动，已知OD=10，∠AOC=30°，则DP+PQ的最小值是10；
（2）如图2，在菱形ABCD中，AB=8，∠DAB=60°，点E是AB边上的动点，点F是对角线AC上的动点，求EF+BF的最小值；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点M是AB上一动点，点N是对角线AC上一动点，请直接写出MN+BN的最小值．

Answer 1

分析 （1）如图1，作D关于直线OC的对称点Q，则DQ的长度就是DP+PQ的最小值，由OC平分∠AOB，∠AOC=30°，得到∠DOQ=60°，于是得到△DOQ是等边三角形，即可得到结果；
（2）由菱形的性质，找出B点关于AC的对称点D，连接DE，则DE就是FE+FB的最小值，再由勾股定理可求出DE；
（3）作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，连接AB′交DC于P，连接BM，再根据矩形、轴对称、等腰三角形的性质得出PA=PC，那么在Rt△ADP中，运用勾股定理求出PA的长，然后由cos∠B′AM=cos∠APD，求出AM的长．

解答 解：（1）如图1，作D关于直线OC的对称点Q，则DQ的长度就是DP+PQ的最小值，
∵OC平分∠AOB，∠AOC=30°，
∴∠DOQ=60°，
∴△DOQ是等边三角形，
∴DQ=OD=10，
∴DP+PQ的最小值是10，
故答案为：10；

（2）连接DE、BD，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则FD=FB，
∴FE+FB=EF+FD=DE，
即DE就是FE+FB的最小值，
∵∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质），
在Rt△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴EF+BF的最小值=4$\sqrt{3}$；

（3）如图3，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′M⊥AB于M，交AC于N，
连接AB′交DC于P，连接BN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC=∠PCA，
∵点B关于AC的对称点是B′，
∴∠PAC=∠BAC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PA=PC．
令PA=x，则PC=x，PD=8-x．
在Rt△ADP中，∵PA²=PD²+AD²，
∴x²=（8-x）²+4²，
∴x=5，
∵cos∠B′AM=cos∠APD，
∴AM：AB′=DP：AP，
∴AM：8=3：5，
∴AM=$\frac{24}{5}$，
∴B′M=$\sqrt{AB{′}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
∴MN+BN的最小值=$\frac{32}{5}$．

点评 本题主要考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q，E，F，M、N的位置是解答此题的关键．