Question

11．如图，过圆心O的直线PC垂直弦AB于点D，并且与⊙O交于C、E两点．
（1）若sin∠DAO=$\frac{2}{3}$且OE=2PE，求证：AP是⊙O的切线．
（2）若D是OE的中点，AB=4，求CE．

Answer 1

分析 （1）通过证得△AOD∽△POA，从而证得∠PAO=∠ADO=90°，即可证得结论；
（2）根据垂径定理和勾股定理即可求得半径，根据半径求得直径即可．

解答 （1）证明：∵sin∠DAO=$\frac{2}{3}$，OD⊥AB，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∵OE=2PE，
∴$\frac{OE}{OP}$=$\frac{2}{3}$
∵OA=OE，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠AOD=∠POA，
∴△AOD∽△POA，
∴∠PAO=∠ADO=90°，
∴AP是⊙O的切线．
（2）解：设OA=OE=x，
∵D是OE的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$x，
∵AB=2，OD⊥AB，
∴AD=1，
在RT△AOD中，OA²=OD²+AD²，
即x²=（$\frac{1}{2}$x）²+1²，解得x=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴CE=2OE=2×$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，切线的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．