Question

9．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD的直角顶点D与原点重合，另一直角顶点A在y轴的正半轴上，点B、C的坐标分别为B（12，8）、C（14，0），AD为⊙E的直径．点M、N分别从A、C两点同时出发做匀速运动，其中点M沿AB向终点B运动，速度为每秒1个单位；点N沿CD向终点D运动，速度为每秒3个单位．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．
（1）设点M、N的运动时间为t秒，当t为何值时，四边形MBCN为平行四边形？
（2）在（1）的条件下，连结DM与⊙E相交于点P，求弦DP的长；
（3）在运动过程中，是否存在使直线MN与⊙E相切的情形？如果存在，请求出直线MN．如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的对边相等即可得出t的值；
（2）连接AP，求出AM的长，利用勾股定理求出OM的长，再根据△OAM∽△OPA即可得出结论；
（3）假设存在MN与⊙E相切，切点为F，可知MF=MA=t，FN=DN=14-3t，连接EF，EM，EN，根据△EMF∽△NEF即可求出t的值，进而得出M、N的坐标，利用待定系数法求出直线MN的解析式即可．

解答 解：（1）∵四边形MBCN为平行四边形，
∴BM=CN，即12-t=3t，解得t=3；

（2）如图1，连接AP，
∵AM=3，OA=8，
∴OM=$\sqrt{{AM}^{2}+{OA}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{73}$．
∵OA是⊙O的直径，
∴∠APO=90°．
∵∠APO=∠OAM，∠AOM=∠AOM，
∴△OAM∽△OPA，
∴$\frac{OA}{OM}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{8}{\sqrt{73}}$=$\frac{OP}{8}$，解得OP=$\frac{{64\sqrt{73}}}{73}$；

（3）存在．
如图2，假设存在MN与⊙E相切，切点为F，可知MF=MA=t，FN=DN=14-3t，连接EF，EM，EN，
∵MF=MA，FN=DN，
∴∠MEF=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠NEF=$\frac{1}{2}$∠OEF，
∴∠MEN=90°．
∵EF⊥MN，
∴∠MFE=∠NFE=90°，∠MEF+∠EMF=90°，
∴∠MEF=∠NEF，
∴△EMF∽△NEF，
∴$\frac{NF}{EF}$=$\frac{EF}{MF}$，即$\frac{14-3t}{4}$=$\frac{4}{t}$，即4²=t（14-3t），解得：t₁=2，t₁=$\frac{8}{3}$．
∴M₁（2，8），N₁（8，0）和M₂（$\frac{8}{3}$，8），N₂（6，0）
设直线MN的解析式为y=kx+b，将M₁（2，8），N₁（8，0）代入 得M₁N₁：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$；
将M₂（$\frac{8}{3}$，8），N₂（6，0）代入得M₂N₂：y=-$\frac{12}{5}$x+$\frac{72}{5}$．
综上所述，直线MN的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$或y=-$\frac{12}{5}$x+$\frac{72}{5}$．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定及待定系数法求一次函数的解析式等知识，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．