Question

1．如图，抛物线y=x²+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=$\frac{1}{3}$．
（1）求抛物线的对称轴和点P的坐标．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据勾股定理，可得AD²=1+m²，AB²=1²+3²=10，BD²=4+（m-3）²，根据勾股定理的逆定理，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，即B（0，3）．
tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{AO}{3}$=$\frac{1}{3}$，
AO=1，即A点坐标为（-1，3）．
将A点坐标代入，得
1-b+3=0，解得b=4．
抛物线的解析式为y=x²+4x+3，
y=（x+2）²-1，即P点坐标为（-2，-1）；
（2）在抛物线的对称轴上存在这样的点D，使△ABD为直角三角形．
设D点坐标为D（-2，m），A（-1，0），B（0，3）．
由勾股定理，得
AD²=1+m²，AB²=1²+3²=10，BD²=4+（m-3）²．
①当AD²+AB²=BD²时，即1+m²+10=4+（m-3）²，解得m=$\frac{1}{3}$，即D₁（-2，$\frac{1}{3}$）；
②当AD²+BD²=AB²时，即1+m²+4+（m-3）²=10，解得m=2或m=1，即D₂（-2，2），D₃（-2，1）；
③当AB²+BD²=AD²时，即10+4+（m-3）²=1+m²，解得m=$\frac{11}{3}$，即D₄（-2，$\frac{11}{3}$），
综上所述：D₁（-2，$\frac{1}{3}$），D₂（-2，2），D₃（-2，1）；D₄（-2，$\frac{11}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用勾股定理及逆定理得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．