Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C₁；y=ax²+bx的最低点的坐标为（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{25}{8}$），边长为2的正方形ABCD的边BC在x轴上，点B的坐标为（$\frac{2}{3}$，0），先将抛物线C₁绕点O顺时针旋转180°得到抛物线C₂．
（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）请判断抛物线C₂上的点是否会与正方形ABCD的某个顶点重合，并说明理由；
（3）连接OD，抛物线C₂的对称轴与OD的交点为E，M是CD的一个动点（点M与点C，D不重合），过点M作MN∥OD交x轴于点N，连接EM，EN，设CM的长为a，△EMN的面积为S，求S与a的函数解析式，并写出自变量a的取值范围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质，可得C₂的顶点坐标，根据顶点坐标公式，可得函数的解析式；
（2）根据点的坐标满足函数解析式，点在函数图象上，可得答案；
（3）根据比例的性质，可得CN的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）抛物线C₂由抛物线C₁绕点O顺时针旋转180°得到，抛物线C₁的y=ax²+bx的顶点的坐标为（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{25}{8}$），且过原点，
抛物线C₂的顶点坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{25}{8}$），且过顶点；设抛物线C₂的解析式为y=ax²+bx，
-$\frac{b}{2a}$=$\frac{5}{3}$，-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=$\frac{25}{8}$．∴a=-$\frac{9}{8}$，b=-$\frac{15}{4}$，
抛物线C₂的解析式y=-$\frac{9}{8}$x²-$\frac{15}{4}$x；
（2）会，理由如下：A（$\frac{2}{3}$，2），B（$\frac{8}{3}$，2），C（$\frac{8}{3}$，0）．
点A、D在抛物线C₂的解析式y=-$\frac{9}{8}$x²-$\frac{15}{4}$x上；
（3）如图：

设OD的解析式为y=kx，将D点坐标代入函数解析式，
解得k=$\frac{3}{4}$，OD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x，抛物线C₂的对称轴为x=$\frac{5}{3}$，
点E的坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{4}$）．
∵MN∥OD，
∴△CMN∽△CDO，
∴$\frac{CN}{CO}$=$\frac{CM}{CD}$，CN=$\frac{4}{3}$a．
S=S_△CDO-S_△ONE-S_△CMN-S_△MDE
=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{2}$×（$\frac{8}{3}$-$\frac{4}{3}$a）-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$a•a-$\frac{1}{2}$×（2-a）×（$\frac{8}{3}$-$\frac{5}{3}$）
=-$\frac{2}{3}$a²+$\frac{4}{3}$a，
S=-$\frac{2}{3}$a²+$\frac{4}{3}$a （0＜a＜2），
S=-$\frac{2}{3}$a²+$\frac{4}{3}$a=-$\frac{2}{3}$（a-1）²+$\frac{2}{3}$，
当a=1时，S_最大=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用旋转的性质得出C₂的顶点坐标是解题关键；利用代入法是求点在图象上的关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键．