Question

4．如图，抛物线y=ax²+bx+1经过点（2，6），且与直线y=$\frac{1}{2}$x+1相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，求线段PE的最大值；
（3）在（2）的条件，设PC与AB相交于点Q，当线段PC与BE相互平分时，请求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出B点坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）首先表示出P，E点坐标，再利用PE=PD-ED，结合二次函数最值求法进而求出PE的最大值；
（3）根据题意可得：PE=BC，则-x²+4x=3，进而求出Q点的横坐标，再利用直线上点的坐标性质得出答案．

解答 解：（1）∵BC⊥x轴，垂足为点C（4，0），且点B在直线y=$\frac{1}{2}$x+1上，
∴点B的坐标为：（4，3），
∵抛物线y=ax²+bx+1经过点（2，6）和点B（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+1=6}\\{16a+4b+1=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为：y=-x²+$\frac{9}{2}$x+1；

（2）如图所示：设动点P的坐标为；（x，-x²+$\frac{9}{2}$x+1），
则点E的坐标为：（x，$\frac{1}{2}$x+1），
∵PD⊥x轴于点D，且点P在x轴上，
∴PE=PD-ED=（-x²+$\frac{9}{2}$x+1）-（$\frac{1}{2}$x+1）
=-x²+4x
=-（x-2）²+4，
则当x=2时，PE的最大值为：4；

（3）∵PC与BE互相平分，
∴PE=BC，
∴-x²+4x=3，即x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∵点Q分别时PC，BE的中点，且点Q在直线y=$\frac{1}{2}$x+1，
∴①当x=1时，点Q的横坐标为：$\frac{5}{2}$，∴点Q的坐标为：（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{4}$），
②当x=3时，点Q的横坐标为：$\frac{7}{2}$，∴点Q的坐标为：（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{4}$），
综上所述，点Q的坐标为：（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{4}$），（$\frac{7}{2}$，$\frac{11}{4}$）．

点评 此题主要考查了二次函数最值求法以及待定系数法求二次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标性质等知识，正确表示出PE的长再结合二次函数最值求法是解题关键．