Question

5．△ABC三边的长分别为a、b、c，且满足a²-4a+b²-4$\sqrt{2}$c=4b-16-c²，试判定△ABC的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 根据完全平方公式，可得非负数的和为零，可得每个非负数为零，可得a、b、c的值，根据勾股定理逆定理，可得答案．

解答 解：△ABC是等腰直角三角形．
理由：∵a²-4a+b²-4$\sqrt{2}$c=4b-16-c²，
∴（a²-4a+4）+（b²-4b+4）+（c²-4$\sqrt{2}$c+8）=0，
即：（a-2）²+（b-2）²+（c-2$\sqrt{2}$）²=0．
∵（a-2）²≥0，（b-2）²≥0，（c-2$\sqrt{2}$）²≥0，
∴a-2=0，b-2=0，c-2$\sqrt{2}$=0，
∴a=b=2，c=2$\sqrt{2}$，
∵2²+2²=（2$\sqrt{2}$）²，
∴a²+b²=c²，
所以△ABC是以c为斜边的等腰直角三角形．

点评 本题考查了因式分解的应用，勾股定理逆定理，利用了非负数的和为零得出a、b、c的值是解题关键．