Question

13．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE、CE，点F是CE的中点，连接DF、
BF，点M是BF上一点且$\frac{BM}{MF}$=$\frac{1}{2}$，过点M作MN⊥BC于点N，连接FN，则$\frac{{S}_{△FMN}}{{S}_{四边形EBNF}}$=$\frac{2}{15}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得到∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．设AE=a，则DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．根据勾股定理得到BE=$\sqrt{5}$a，CE=$\sqrt{5}$a，得到BE=CE，过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．根据FG∥CD，点F是CE的中点，得到EG=DG=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$a，GF=$\frac{1}{2}$CD=a．根据三角函数的定义得到∠AEB=∠GDF，由平行线的性质得到∠BEF=∠DFE，推出△EFG≌△CFH，根据全等三角形的性质得到FG=FH=a，EG=CH=$\frac{1}{2}$a．推出四边形CDGH是矩形，根据矩形的性质得到CH=DG=$\frac{1}{2}$a，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{MN}{FH}=\frac{BN}{BH}$=$\frac{BM}{BF}$=$\frac{1}{3}$，于是得到MN=$\frac{1}{3}$FH=$\frac{1}{3}$a，BN=$\frac{1}{3}$BH=$\frac{1}{2}$a，求得S_△FMN=$\frac{1}{2}MN•NH$=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{3}$a×a=$\frac{1}{6}$a²，S_{四边形FEBN}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△CDE-S_△CNF=4a²-$\frac{1}{2}$•2a•a-$\frac{1}{2}•2a•a$-$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}a•a$=$\frac{5}{4}$a²．即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=DA，AD∥BC．
设AE=a，则DE=a，AB=BC=CD=DA=2a．
在△ABE中，由勾股定理，得BE=$\sqrt{5}$a，
在△CDE中，由勾股定理，得CE=$\sqrt{5}$a，
∴BE=CE，
过点F作FG⊥AD于G，FG交BC于H．
∵AD∥BC，FG⊥AD，∴GH⊥BC．
∵FG∥CD，点F是CE的中点，
∴EG=DG=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$a，GF=$\frac{1}{2}$CD=a．
在直角△ABE中，∵tan∠AEB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{2a}{a}$=2，
在直角△GFD中，∵tan∠GDF=$\frac{GF}{DG}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}a}$=2，
∴tan∠AEB=tan∠GDF，
∵0°＜∠AEB＜90°，0°＜∠GDF＜90°，
∴∠AEB=∠GDF，
∴BE∥DF，
∴∠BEF=∠DFE，
在△EFG与△CFH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GEF=∠FCH}\\{∠EGF=∠CHF}\\{EF=CF}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△CFH，
∴FG=FH=a，EG=CH=$\frac{1}{2}$a．
∵GH∥CD，GD∥HC，∠CDA=90°，
∴四边形CDGH是矩形，
∴CH=DG=$\frac{1}{2}$a，
∴BH=BC-CH=$\frac{1}{2}$a．
∵MN⊥BC，GH⊥BC，
∴MN∥FH，
∴$\frac{MN}{FH}=\frac{BN}{BH}$=$\frac{BM}{BF}$=$\frac{1}{3}$，
∴MN=$\frac{1}{3}$FH=$\frac{1}{3}$a，BN=$\frac{1}{3}$BH=$\frac{1}{2}$a，
∴MN=$\frac{1}{6}$AB，
∵BN=CH=$\frac{1}{2}$a，
∴NH=BC-BN-CH=a，
∴S_△FMN=$\frac{1}{2}MN•NH$=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{3}$a×a=$\frac{1}{6}$a²，
S_{四边形FEBN}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△CDE-S_△CNF=4a²-$\frac{1}{2}$•2a•a-$\frac{1}{2}•2a•a$-$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}a•a$=$\frac{5}{4}$a²．
∴$\frac{{S}_{△FMN}}{{S}_{四边形EBNF}}$=$\frac{1}{6}$•$\frac{{a}^{2}}{\frac{5}{4}{a}^{2}}$=$\frac{2}{15}$．
故答案为：$\frac{2}{15}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理．正确的作出辅助线是解题的关键．