Question

9．古希腊毕达哥拉斯学派把自然数与小石子摆成的形状比拟，借此把自然数分类，图中的五角形数分别表示数1，5，12，22，…，那么第n个五角形数是$\frac{n（3n-1）}{2}$．

Answer 1

分析 仔细观察各个图形中实心点的个数，找到个数之间的通项公式即可．

解答 解：第一个有1个实心点，
第二个有1+1×3+1=5个实心点，
第三个有1+1×3+1+2×3+1=12个实心点，
第四个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1=22个实心点，
…
第n个有1+1×3+1+2×3+1+3×3+1+…+3（n-1）+1=$\frac{3n（n-1）}{2}+n$=$\frac{n（3n-1）}{2}$个实心点，
故答案为：$\frac{n（3n-1）}{2}$．

点评 本题考查了图形变化类的问题，解题的关键是仔细观察每个图形并从中找到通项公式．