Question

14．如图所示，已知四边形ABCD的面积为45，对角线AC、BD相交于点P，在四边形的两边AB，CD上分别有点M，N，且MB=$\frac{1}{3}$AB，BP=$\frac{3}{5}$BD，NC=$\frac{2}{3}$DC，PC=$\frac{2}{3}$AC，求四边形MBCN的面积．

Answer 1

分析 连接CM，MD，只需求出三角形BMC的面积与三角形CMN的面积即可．要求三角形BMC的面积，只需根据BM与AB之比求出三角形ABC的面积即可，而BP与BD之比也是知道的，从而根据共边定理即可得出三角形ABC的面积；同理，要求三角形CMN的面积，只需求出三角形MCD的面积即可，从而只需求出三角形AMD的面积即可，进而只需求出三角形BAD的面积即可，而CP和AC的比例关系已知，由共边定理易算三角形BAD的面积．

解答 解：连接CM、MD，如图，

∵BP=$\frac{3}{5}$BD，
∴$\frac{BP}{PD}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}=\frac{BP}{PD}=\frac{3}{2}$，
∵S_△ABC+S_△ADC=S_{四边形ABCD}=45，
∴S_△ABC=27，S_△ADC=18，
∵$PC=\frac{2}{3}AC$，
∴$\frac{PC}{PA}=\frac{2}{1}$，
∴$\frac{{S}_{△BCD}}{{S}_{△BAD}}=\frac{PC}{PA}=\frac{2}{1}$，
∴S_△BCD=30，S_△BAD=15，
∵MB=$\frac{1}{3}$AB，
∴${S}_{△AMD}=\frac{2}{3}{S}_{△BAD}=10$，${S}_{△BMC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}=9$，
∴S_△MCD=45-10-9=26，
∵NC=$\frac{2}{3}$DC，
∴${S}_{△CMN}=\frac{2}{3}{S}_{△MCD}=\frac{52}{3}$，
∴S_{四边形MBCN}=S_△BMC+S_△CMN=$\frac{79}{3}$．

点评 本题主要考查了等积变换．找到线段之比与面积之比的相互关系是解决此类问题的关键．另外，熟练掌握一些面积定理，比如本题用到的共边定理，更加有利于解决问题．