Question

16．（1）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，若∠A=40°，求∠1+∠2的度数；
（2）通过（1）的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；
（3）将图1中△ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠．
 ①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中∠α+∠β+∠γ=180°；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°；
 ②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，若∠A=40°，可以求得∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE，进而可以求得∠1+∠2的度数；
（2）先写出数量关系，然后说明理由，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，可以得到折叠后的各个角的关系，从而可以解答本题；
（3）根据第二问的推导，可以进行这一问结论的推导，从而可以解答本题．

解答 解：（1）∵∠A=40°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=140°，
∴∠1+∠2=360°-（∠AED+∠ADE）-（∠A′ED+∠A′DE）=80°，
即∠1+∠2的度数是80°；
（2）∠1+∠2=2∠A，
理由：∵将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE，∠A=∠A′，
∴∠1+∠2
=360°-（∠AED+∠ADE）-（∠A′ED+∠A′DE）
=360°-（180°-∠A）-（180°-∠A′）
=360°-180°+∠A-180°+∠A′
=2∠A，
即∠1+∠2=2∠A；
（3）①由题意可得，∠α+∠β+∠γ=360°-180°=180°，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2∠A+2∠B+2∠C=2（∠A+∠B+∠C）=2×180°=360°，
故答案为：180°，360°；
②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论仍然成立；
理由：∵∠1+∠2=2∠A，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠C，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6
=2∠A+2∠B+2∠C
=2（∠A+∠B+∠C）
=360°，
即如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论仍然成立．

点评 本题考查翻折问题、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．