Question

11．在△ABC中，∠ACB=2∠ABC，∠BAC的平分线AQ交BC于点D，点P为AQ上一动点，过点P作直线l⊥AQ于P，分别交直线AB、AC、BC于点E、F、M．

（1）当直线l经过点B时（如图1），求证：AB=AF；
（2）当M在BC延长线上时（如图2），写出BE、CF、CD之间的数量关系，并加以证明；
（3）当M是BC中点时，请补全图3，并直接写出$\frac{CD}{CF}$=2（不需证明）

Answer 1

分析 （1）根据ASA可以证明△APB≌△APF得到AB=AF．
（2）通过辅助线构造△ADB≌△ADG，得到∠B=∠G，由∠ACB=2∠B，得到∠CDG=∠G，得到CD=CG，再证明BE=FG可以得到结论．
（3）根据中点M，构造△CNM≌△BEM，得到BE=CN，BE=FG，再证明CN=NF，进而得到结论．

解答 证明：（1）∵∠BAC的平分线AQ交BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直线l⊥AQ，
∴∠APE=∠APF=90°，
在△ABP与△AFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠FAP}\\{AP=AP}\\{∠APB=∠APF}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△AFP，
∴AB=AF；
（2）如图2，延长AC到G使CG=CD，连接CD，
∴∠CDG=∠G，
∵∠ACB=∠G+∠CDG，
∴∠ACB=2∠G，
∵∠ACB=2∠ABC，
∴∠B=∠G，
在△ABD与△AGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠G}\\{∠BAD=∠GAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AGD，
∴AB=AG，
在△EAP与△FAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠FAP}\\{AP=AP}\\{∠APE=∠APF=90°}\end{array}\right.$，
∴△EAP≌△FAP，
∴AE=AF，
∴BE=GF，
∵GF=CG+CF=CF+CD，
∴BE=CF+CD；
（3）如图，作CN∥AB交EF于N，
∵CN∥BA，
∠BEM=∠VNM，
在△BEM和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEM=∠CNM}\\{∠EMB=∠NMC}\\{BM=MC}\end{array}\right.$
∴△BME≌△CMN，
∴BE=CN，
由（2）可知CD=CG，AB=AG，AE=AF，
∴BE=FG，∠AEF=∠AFE，
∵∠CNF=∠AEF，
∴∠CNF=∠CFN，
∴CN=CF=FG，
∵CD=2CF，
∴$\frac{CD}{CF}$=2．
故答案为2．

点评 本题目考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，充分利用中点，2倍角添加辅助线是解决问题的关键．