Question

13．若二次函数y=-x²的图象平移后过点M（-1，0）和点N（0，3）．
（1）求出平移后二次函数的关系式；
（2）若在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，现将Rt△ABC的直角边AC放置在x轴上，顶点B在平移后二次函数图象上，写出A点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由平移不改变二次函数的二次项系数，可设新函数解析式为y=-x²+bx+c，把题中的两个点代入即可；
（2）根据得到B的纵坐标，代入抛物线的解析式求得横坐标，得出C的坐标，进而根据AC的长，再利用图象上点的坐标性质得出A点坐标．

解答 解：（1）设y=-x²+bx+c，把点M（-1，0）和点N（0，3）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
则平移后的函数解析式为y=-x²+2x+3．
（2）由题意可知B的纵坐标为±4，
把y=4代入y=-x²+2x+3得4=-x²+2x+3．
解得x=1，
∴B（1，4），
∴C的横坐标为1，
∵AC=8，
∴A（-7，0）或（9，0）；
把y=-4代入y=-x²+2x+3得-4=-x²+2x+3．
解得x=1$±2\sqrt{2}$，
∴C的横坐标为1+2$\sqrt{2}$或1-2$\sqrt{2}$，
∵AC=8，
∴A（-7+2$\sqrt{2}$，0）或（10+2$\sqrt{2}$，0）或（9-2$\sqrt{2}$）或（-7-2$\sqrt{2}$）；
综上所述：符合题意的A点坐标为：（-7，0），（9，0），（-7+2$\sqrt{2}$，0），（10+2$\sqrt{2}$，0），（9-2$\sqrt{2}$），（-7-2$\sqrt{2}$）．

点评 此题主要考查了二次函数的平移以及直角三角形等知识，利用数形结合得出C点坐标是解题关键．