Question

12．如图，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）与正比例函数y=mx（m≠0）交于A、C两点，以AC为边作等边三角形ACD，且S_△ACD=20$\sqrt{3}$，再以AC为斜边作直角三角形ABC，使AB∥y轴，连接BD．若△ABD的周长比△BCD的周长多4，则k=（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得出其边长，再利用勾股定理得出BC，AB的长，进而结合反比例函数的性质得出k的值．

解答 解：∵以AC为边作等边三角形ACD，且S_△ACD=20$\sqrt{3}$，
∴设AC的长为x，则AC边上的高为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
故$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=20$\sqrt{3}$，
解得：x=4$\sqrt{5}$（负数舍去），
即AC=4$\sqrt{5}$，
∵△ABD的周长比△BCD的周长多4，
由AD=DC，BD是公共边，
∴AB-BC=4，
设BC=y，则AB=4+y，
故y²+（4+y）²=（4$\sqrt{5}$）²，
解得：y₁=4，y₂=-8（不合题意舍去），
∴BC=4，AB=8，
由反比例函数的性质可得：AO=CO，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ACB，
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
则EO=2，AE=4，
故k=2×4=8．
故选：D．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AC的长是解题关键．