Question

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O是三角形内的一点，且S_△OAB=S_△OBC=S_△OAC，那么$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}}{O{C}^{2}}$值为5．

Answer 1

分析 延长CO交AB于D，延长BO交AC于E，延长AO交BC于F，连接EF，如图，易得EF=$\frac{1}{2}$AB，点O是△ABC的重心，根据重心的性质可得AO=$\frac{2}{3}$AF，BO=$\frac{2}{3}$BE，CO=$\frac{2}{3}$CD，然后只需运用勾股定理就可解决问题．

解答 解：延长CO交AB于D，延长BO交AC于E，延长AO交BC于F，连接EF，如图．
∵S_△OAB=S_△OBC=S_△OAC，
∴根据燕尾定理可得点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，点O是△ABC的重心，
∴AO=$\frac{2}{3}$AF，BO=$\frac{2}{3}$BE，CO=$\frac{2}{3}$CD．
又∵∠ACB=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}}{O{C}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{9}A{F}^{2}+\frac{4}{9}B{E}^{2}}{\frac{4}{9}C{D}^{2}}$
=$\frac{A{F}^{2}+B{E}^{2}}{C{D}^{2}}$
=$\frac{A{C}^{2}+C{F}^{2}+B{C}^{2}+C{E}^{2}}{C{D}^{2}}$
=$\frac{A{B}^{2}+E{F}^{2}}{C{D}^{2}}$
=$\frac{A{B}^{2}+\frac{1}{4}A{B}^{2}}{\frac{1}{4}A{B}^{2}}$
=5．
故答案为5．

点评 本题主要考查了三角形重心的性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、燕尾定理、勾股定理等知识，运用燕尾定理得到点O是△ABC的重心，是解决本题的关键．